Metoda rozdzielania zmiennych dla równania Laplace’a we współrzędnych biegunowych

Rozważmy równanie Laplace'a

(1)

\( u_{xx}+u_{yy}=0,\qquad (x,y)\in \Omega , \)

z warunkiem

(2)

\( u(x,y)=f(x,y),\qquad (x,y)\in \partial \Omega, \)

gdzie

\( \Omega =\big\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \,:\hskip 0.5pc x^2+y^2<r^2\big\}. \)

Postać obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) sugeruje przejście na współrzędne biegunowe

\( x=\rho \cos(\alpha),\quad y= \rho \sin(\alpha), \qquad 0\leq \rho \leq r,\hskip 0.5pc 0\leq \alpha <2\pi. \)

Przyjmując

\( v(\rho ,\alpha )= u(\rho \cos(\alpha),\, \rho \sin(\alpha)) \)

i korzystając z zależności:

\( \rho= \sqrt {x^2+y^2},\quad \alpha ={\rm arctg}\dfrac yx, \)

nietrudno sprawdzić, że:

\( u_{xx}= \dfrac{x^2}{\rho^2} v_{\rho\rho} -\dfrac{2xy}{\rho^3} v_{\rho \alpha}+\dfrac{y^2}{\rho^4} v_{\alpha \alpha}+\dfrac{y^2}{\rho^3} v_{\rho}+\dfrac{2xy}{\rho^4} v_{\alpha}, \)

\( u_{yy}= \dfrac{y^2}{\rho^2} v_{\rho\rho} +\dfrac{2xy}{\rho^3} v_{\rho \alpha}+\dfrac{x^2}{\rho^4} v_{\alpha \alpha}+\dfrac{x^2}{\rho^3} v_{\rho}-\dfrac{2xy}{\rho^4} v_{\alpha}. \)

Podstawiając ostatnie związki do równania ( 1 ) otrzymamy równanie Laplace'a we współrzędnych biegunowych

(3)

\( v_{\rho\rho}+\dfrac 1{\rho} v_{\rho} + \dfrac 1{\rho^2} v_{\alpha \alpha}=0. \)

Warunek ( 2 ) przyjmie postać

\( v(r,\alpha )= g(\alpha),\qquad \alpha \in [0,2\pi), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc g(\alpha)=f(r\cos (\alpha), r\sin (\alpha) )\hskip 0.3pc \) .
Szukamy rozwiązania w postaci

\( v(\rho ,\,\alpha )= \phi (\rho ) \psi (\alpha ). \)

Ze względu na charakter współrzędnych biegunowych możemy przyjąć, że \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) jest funkcją okresową o okresie \( \hskip 0.3pc 2\pi\hskip 0.3pc \) określoną na \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \) .
Po podstawieniu ostatniego wzoru do równania ( 3 ) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy

(4)

\( \rho^2 \dfrac {\phi^ {\prime\prime}(\rho )}{\phi(\rho )}+\rho \dfrac{\phi^\prime(\rho ) }{\phi(\rho )}=-\dfrac{\psi^{\prime\prime}(\alpha )}{\psi(\alpha )}. \)

Równość ta może zachodzić tylko wówczas gdy obie strony są równe pewnej stałej, powiedzmy \( \hskip 0.3pc \lambda .\hskip 0.3pc \) Otrzymujemy zatem równania różniczkowe:

(5)

\( \psi^{\prime\prime}(\alpha )+\lambda \psi(\alpha )=0 \)

oraz

(6)

\( \rho^2 \phi^{\prime\prime}(\rho )+\rho \phi^\prime(\rho )-\lambda \phi(\rho ) =0. \)

Z okresowości funkcji \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) wynika, że przypadki \( \hskip 0.3pc \lambda <0\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \lambda =0\hskip 0.3pc \) prowadzą do rozwiązania zerowego. Dla przypadku \( \hskip 0.3pc \lambda >0\hskip 0.3pc \) rozwiązanie równania ( 5 ) ma postać

(7)

\( \psi (\alpha )= A \cos(\sqrt {\lambda}\alpha)+ B\sin( \sqrt {\lambda}\alpha). \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) jest funkcją okresową o okresie \( \hskip 0.3pc 2\pi,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \sqrt {\lambda}\hskip 0.3pc \) musi być liczbą naturalną, czyli \( \hskip 0.3pc {\lambda}=n^2,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc n\in \mathbb N.\hskip 0.3pc \) Zatem

\( \psi (\alpha )= A \cos (n\alpha) + B \sin (n\alpha) . \)

Szukając rozwiązania równania ( 6 ) w postaci

\( \phi =\rho^k\hskip 1pc {\rm gdzie} \hskip 0.6pc k\in \mathbb N, \)

otrzymamy

\( \big( k(k-1)+k-n^2\big) \rho^k=0. \)

Stąd \( \hskip 0.3pc k=n\hskip 0.3pc \) lub \( \hskip 0.3pc k=-n.\hskip 0.3pc \) Rozwiązanie ogólne równania ( 6 ) ma zatem postać

\( \phi (\rho )=C \rho^n +D \rho^{-n}. \)

Ponieważ dla \( \hskip 0.3pc \rho =0\hskip 0.3pc \) wyraz \( \hskip 0.3pc \rho^{-n}\hskip 0.3pc \) nie jest określony i ponadto \( \hskip 0.3pc \lim_{\rho \to 0^+}\rho^{-n} =\infty,\hskip 0.3pc \) aby uniknąć osobliwości w początku układu należy przyjąć \( \hskip 0.3pc D=0.\hskip 0.3pc \) W konsekwencji dla dowolnego \( \hskip 0.3pc n\in \mathbb N\hskip 0.3pc \) funkcja

\( v_n=\rho^n \big(A_n \cos (n\alpha) +B_n\sin (n\alpha)\big) \)

jest rozwiązaniem klasy \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc \) równania ( 3 ).
Rozwiązanie to na ogół nie spełnia warunku ( 4 ). Rozważmy więc funkcje

\( v= \dfrac 12 A_0+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\rho^n\big(A_n \cos( n\alpha) +B_n\sin (n\alpha)\big). \)

Jeśli ostatni szereg oraz szereg pochodnych pierwszego i drugiego rzędu jest jednostajnie zbieżny, to tak określona funkcja \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 3 ). Warunek ( 4 ) przyjmuje postać

\( \dfrac 12 A_0+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}r^n\big(A_n \cos (n\alpha) +B_n\sin (n\alpha)\big)=g(\alpha ). \)

Jeśli funkcja \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest rozwijalna w szereg Fouriera, to ostatnia równość jest spełniona, jeśli

\( A_n= \dfrac 1{\pi r^n}\int_0^{2\pi}g(\theta )\cos (n\theta)\, d\theta,\quad B_n=\dfrac 1{\pi r^n} \int_0^{2\pi}g(\theta )\sin (n\theta)\, d\theta, \quad n=0,1,2,\ldots . \)

Zatem

\( \begin{aligned}v(\rho , \alpha )=&\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}g(\theta )d\theta +\dfrac{1}{\pi} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \Big(\dfrac{\rho}{r}\Big)^n \int_0^{2\pi}\Big(\cos (n\alpha) \cos (n \theta)+\sin (n\alpha) \sin (n\theta)\Big) g(\theta )\,d\theta=\\& \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\Big(1+ 2 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\big(\dfrac{\rho}{r}\big)^n \cos (n(\theta - \alpha ))\Big) g(\theta )\,d\theta. \end{aligned} \)

Korzystając ze wzoru

\( \cos(\beta) =\dfrac{e^{i\beta}+e^{-i\beta}}2 \)

otrzymamy

\( \begin{aligned}1+2 &\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Big(\dfrac{\rho}{r}\Big)^n \cos (n(\theta - \alpha )) =1+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Big(\dfrac{\rho}{r}\Big)^n e^{ in (\theta - \alpha)} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Big( \dfrac{\rho}{r}\Big)^n e^{-in(\theta - \alpha)}=\\&1+\dfrac{ \dfrac {\rho}r e^{i(\theta - \alpha )}}{1-\dfrac {\rho}r e^{i(\theta - \alpha )}}+\dfrac{ \dfrac {\rho}r e^{-i(\theta - \alpha )}}{1-\dfrac {\rho}r e^{-i(\theta - \alpha )}}\,\,=\,\,\dfrac{r^2-\rho^2} {r^2-2\rho r\cos (\theta - \alpha )+\rho^2}.\end{aligned} \)

Uwzględniając ostatnią równość rozwiązanie \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) możemy zapisać w postaci:

\( v(\rho , \alpha)= \dfrac 1{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac{(r^2-\rho^2)g(\theta )}{r^2-2\rho r\cos (\theta - \alpha )+\rho^2}d\theta . \)

Dla \( \hskip 0.3pc \rho=0\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \alpha =0\hskip 0.3pc \) ostatni wzór daje zależność

\( v(0,0)= \dfrac 1{2\pi} \displaystyle\int_0^{2\pi}g(\theta )\,d\theta. \)

Uzyskana równość mówi, że wartość średnia rozwiązania po brzegu kuli o środku w punkcie \( \hskip 0.3pc (0,0)\hskip 0.3pc \) jest równa wartości rozwiązania w tym punkcie.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Metoda rozdzielania zmiennych dla równania Laplace’a we współrzędnych biegunowych